Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy

Recuerdo que llegue a clase y el profesor dijo:

El tema que vamos a estudiar es Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy

inmediatamente mi cerebro se bloqueo, 5 minutos despues ya estaba resolviendo ejercicios.

Este tema es muy sencillo n_n

Empecemos con un ejercicio

Resolver el siguiente problema de valores iniciales
dY       X
--- = - ---   con la condicion Y(4) = -3
dx       Y

Primer Paso

Resolver la Ecuacion Diferencial

dY       X
--- = - ---
dx       Y


Esta Ecuacion es Separable

Ya sabemos resolver Ecuaciones Separables

  dY    
Y -- = - X
  dx       

   dY    
-Y -- = X
   dx

La solucion es Y = p(X)

Reemplazando tenemos:

-p(X) p'(X) = X

Integramos

∫-p(X) p'(X)dx = ∫Xdx

con dY = p'(X)dx tenemos:

∫-p(X) dY = ∫Xdx

∫-Y dY = ∫Xdx

   Y2         X2
- --- + C1 = --- + C2
   2          2

   Y2    X2
- --- = --- + C2 - C1
   2     2

- Y2 = X2 + 2(C2 - C1)

0 = X2 + Y2 + 2(C2 - C1)

con C = 2(C2 - C1) tenemos:

0 = X2 + Y2 + C

X2 + Y2 = -C

Las constantes se manejan a conveniencia, por lo tanto
con C2 = -C tenemos:

X2 + Y2 = C2
Esta es la ecuacion de la circunferencia


En las Ecuaciones Diferenciales hay 2 tipos de soluciones: la explicita y la implicita

La solucion implicita es:

X2 + Y2 = C2

La solucion explicita es:

X2 + Y2 = C2

Y2 = C2 - X2
       _________
Y = ± / C2 - X2

Ya resolvimos la Ecuacion Diferencial

Segundo Paso
La condicion

Y(4) = -3
Esta condicion dice:

X = 4
Y = -3

por lo tanto:
                                                                                            _________
X2 + Y2 = C2                 Y =  ± / C2 - X2
                                    _________
42 + (-3)2 = C2             -3 =  ± / C2 - 42
                                    _________
16 + 9 = C2                 -3 =  - / C2 - 42
                                    _________
25 = C2                      3 =   / C2 - 42
                                    _________
C = 5                        3 =   / 52 - 42
                                    _________
                             3 =   / 25 - 16
                                    _________
                             3 =   /   9

                             3 = 3

                             por lo tanto C = 5

Tercer Paso
Soluciones finales

Soluciones:
X2 + Y2 = C2

       _________
Y = - / C2 - X2

Con
C = 5
Tenemos:

X2 + Y2 = 25

       _________
Y = - / 25 - X2

Ya acabamos, si vez un error o no entiendes algo dimelo por favor
Nos vemos