Ecuaciones Diferenciales Variables Separables

Una Ecuacion Diferencial de primer orden(primera derivada) de la forma:

dy 
--- = g(X)h(Y)
dx

Se llama Separable


La siguiente tabla muestra 2 Ecuaciones Diferenciales, una separable y una no separable

Separable	No separable
dy --- = Y2Xe3x+4y dx dy --- = Y2Xe3xe4y dx dy --- = Xe3xY2e4y dx con g(X) = Xe3x h(Y) = Y2e4y tenemos dy --- = g(X)h(Y) dx	dy --- = Y + sen X dx Y + sen X No se puede expresar como g(X)h(Y)

Ok, ya sabemos identificar una Ecuacion Diferencial Separable, ahora hay que aprender a Resolverlas y para ello vamos a ver un ejemplo

Ejemplo: Resolver la siguiente Ecuacion Diferencial
(1+X)dy - Ydx = 0

Primer Paso
¿La Ecuacion es separable?

(1+X)dy - Ydx = 0


(1+X)dy = Ydx


dy    dx
--- = ---
 Y    1+X


dy    Y
--- = ---
dx    1+X


con
g(X) = 1 / (1 + X)
h(Y) = Y
tenemos

dy
--- = g(X)h(Y)
dx
Como vemos se trata de una
Ecuacion Diferencial Separable

Segundo Paso
Despejar a g(X)

dy
--- = g(X)h(Y)
dx


1    dy
---  --- = g(X)
h(Y) dx

La Ecuacion original se ve asi

1   dy     1
--- --- = ---
Y   dx    1+X

Tercer Paso

Y = p(X) es la solucion

Posiblemente pienses "Y = p(X) es la solucion, eso fue todo?"

Si eso fue todo, solo falta la comprobacion


Cuarto Paso(comprobacion)

Como ya sabemos

Y = p(X) es la solucion

De Calculo Diferencial sabemos que dY = p'(X)dx

Comprobacion:

1    dy
---  --- = g(X)
h(Y) dx

La Ecuacion original se ve asi

1   dy     1
--- --- = ---
Y   dx    1+X

Reemplazando la solucion Y = p(X) tenemos:

1             1
---  p'(X) = ---
p(X)         1+X


p'(X)    1
---   = ---
p(X)    1+X


La comprobacion aqui termina

Pero veamos quien es Y = p(X)


   p'(X)        1
∫ --- dx  = ∫--- dx
   p(X)        1+X


   p'(X) dx       dx
∫ ------    = ∫ ---
   p(X)           1+X


con
Y = p(X)
dY = p'(X)dx
tenemos:


   dy          dx
∫ ---    = ∫ ---
    Y          1+X


ln |Y| = ln |1 + X| + C


eln |Y| = eln |1 + X| + C


Y = eln |1 + X|eC


Y = |1 + X|eC


con
C = eC
tenemos:


Y = |1 + X|C

Y = p(X) = |1 + X|C

Como ultimo comentario: Y = p(X) = |1 + X|C conviene escribirlo asi Y = |1 + X|C

Ya terminamos, si vez algun error por favor dimelo
nos vemos